Un verre conique

L'objectif de cette activité est d'étudier différentes configurations d'un verre de forme conique par rapport à son contenu liquide, puis par rapport à une surface d'eau dans lequel il sera plongé.

Partie A : du liquide dans un verre conique

Le fichier de géométrie dynamique suivant montre un verre conique rempli d'eau. On observe la forme de la surface de l'eau à l'intérieur du verre.

1. Lorsque le verre est dans sa position initiale, verticale, observer et décrire la forme de la surface de l'eau. Il est possible de varier la hauteur \(h\) de l'eau à l'intérieur.
Conjecturer la forme de la section d'un cône de révolution par un plan perpendiculaire à son axe.

2. Lorsqu'on incline le verre, la forme de la surface de l'eau évolue. Modifier la mesure de l'angle \(\alpha\) formé entre la verticale et l'axe du cône afin d'incliner le verre et observer comment la forme de la surface de l'eau change. Arriver jusqu'à la limite avant que l'eau ne sorte du verre. La courbe qui délimite la surface de l'eau s'appelle ellipse.

Partie B : un verre dans la plonge

On considère le même verre que dans la partie A, que l'on souhaite laver en le plongeant dans un évier rempli d'eau.
À l'aide du fichier de géométrie dynamique suivant, on peut plonger le verre dans l'eau en effectuant une rotation d'angle `\alpha` du verre.

1. Plonger le verre dans l'eau en modifiant la mesure de l'angle `\alpha` et observer la forme de la surface d'eau intersectée par le verre lorsque `\alpha` est inférieur à `110°`. La partie courbe de la section obtenue est une portion de parabole.

2. Choisir `\alpha = 110°`. Observer et décrire la position relative du verre et de la surface de l'eau avec une vue par le dessus, perpendiculaire au plan. Observer aussi la forme de la surface de l'eau intersectée par le verre. La partie courbe de la section obtenue est une portion d'hyperbole.

3. Conjecturer les définitions de parabole et d'hyperbole à partir des observations précédentes.